Cual es la ecuacion de la parabola

Sección 2.5 Parábola

¶Definición 2.5.1

Una parábola es el combinar formado de todos ese puntos ese se ¿encontrar? a la misma distancia del un señalar fijo ~ foco y después una recta llamada telefónica directriz.

Estás mirando: Cual es la ecuacion de la parabola

Observación: en este texto mostrar se abordaran los caso que la directriz sea paralela al eje (X) o al línea central (Y ext.)

Descripción después los punto que están o ellos pertenecen a la Parábola: está dentro (F in mathbbR^2) los representa los foco y (l) una recta del aeronave (en ns dibujo paralela al eje (Y)). Consideremos la recta que ocurrir por el foco y denominaciones perpendicular ns (l ext,) es decir, (l_1 perp l ext,) (l_1) denominaciones llamada línea central focal.


*

Sea (r in mathbbR^+) la distancia que hay entre los foco y la directriz


eginequation*dist(l,F) = r=2p endequation*

Si (V in mathbbR^2 ext,) denominada el nombrar medio (overlineFP_0 ext,) donde (P_0) es el punto ese intersección ese (l) y (l_1 ext,) el designa (V ) antes de nombrado lo llamaremos vértice después la parábola y cumplimiento con


eginequation*dist(l,V) = dist(F,V) = fracr2 = pendequation*

Sea (P in mathbbR^2) un designa que es perteneciente la parábola, luego


eginequation*dist(l,P) = dist(F,P) endequation*

Así hemos de la parábola alcanzar foco (F) y directiva (l) es:


eginequation*mathcalP_(l,F) = p in mathbbR^2 mid dist(l,P) = dist(F,P) endequation*

El cual gráficamente corresponde a la próxima figura


*

Luego al considerar solamente der puntos, sin reflejos las distancias, tenemos la siguiente conformada conocida como parábola.


*

Observación: note que hemos realizado ns proceso dentro de forma general y mostrar hemos visualizado una después las cuatro posibilidades después abertura después la Parábola. Ahora detallaremos más cada caso.

Subsección 2.5.1 Ecuación ese la parábola con eje focal distance paralelo al eje X

Sean (F,V in mathbbR^2 ext,) alcanzan (V = (h,k)) los vértice ese la parábola, (F=(h+p,k)) el foco y (l_1:x= h-p) la directriz.

En este caso, se combinar el línea central focal paralelo al eje (X ext,) en el momento más tarde las gráficas que nosotros encontramos dentro de este situación son ns siguientes:


*

Sea (P=(x,y)) ns punto ese la parábola, luego la calle es


eginequation*eginarrayrcldist(l,P) = fracmid 1 cdot x + 0 cdot y + p-h midsqrt1^2 + 0^2 = mid x + p-h midendarrayendequation*

Además después la distancia entre puntos, obtenemos


eginequation*eginarrayrcldist(F,P) = sqrt(x_2 —apoyándose x_1)^2 + (y_2 rápido y_1)^2= sqrt(x —apoyándose (h+p))^2 + (y-k)^2endarrayendequation*

Realicemos el cambió de change (u=x-h) y (v=y-k ext,) dentro de estas coordenadas obtenemos


eginequation*eginarrayrclmid u + ns mid amp =amp sqrt(u rápido p)^2 + v^2\(u + p)^2 amp =amp (u rápido p)^2 + v^2 \v^2 amp =amp (u + p)^2 -(u -papposo p)^2=4puendarrayendequation*

Así, tenemos que


eginequation*eginarrayrclv^2 amp =amp 4pu,endarrayendequation*

volviendo a los coordenadas originales


eginequation*eginarrayrcl(y-k)^2 amp =amp 4p (x-h)endarrayendequation*
Proposición 2.5.2

Sea (F,V, Pin mathbbR^2 ext,) con (V = (h,k)) los vértice después la parábola, (F=(h+p , k)) ns foco, (l: x=h-p) la directiva entonces (P = (x,y)inmathcalP_(l,F)) pertenece a la parábola si y sólo si satisface la ecuación


eginequation*mathcalP_(l,F): (y rápido k)^2 = 4p(x-h)endequation*
Ejemplo 2.5.3

Encuentre la ecuación después la parábola, la directriz, el foco sí esta tiene como vértice ((0,0) ext,) pasa por el designa ((4,-3)) y el línea central focal está dentro de el eje (X ext.)


Solución 1

Como la parábola combinar su vértice dentro el originarios ((h,k)=(0,0) ext,) debemos su ecuación esta dada por:


eginequation*eginarrayrcly^2 = 4pxendarrayendequation*

Pero además, ocurrir por el nombrar ((4,-3) ext,) el cual debe satisfacer la ecuación (y^2 = 4px ext,) reemplazando se obtiene


eginequation*eginarrayrcl(-3)^2 amp =amp 4p cdot cuatro \p amp =amp frac916endarrayendequation*

Luego, el foco es dado por el designa ((p,0)) lo los corresponde ns ((frac916,0) ext.) finalmente la directriz combinar ecuación (l:x=-p ext,) denominaciones decir,


eginequation*l: x =- frac916endequation*

Y así la ecuación es


eginequation*y^2 = frac94xendequation*
Ejemplo 2.5.4

Encuentre la ecuación ese la parábola, la mando y su foco si ns vértice es ((6,2) ext,) aprobar por el señalar ((-3,5)) y el eje focal denominada paralelo al línea central (X ext.)


Solución 2

Como la parábola combinar su vértice en el nombrar ((6,2)) hemos de su ecuación esta dadaista por:


eginequation*eginarrayrcl(y - k)^2 amp =amp 4p(x-h) \(y-2)^2 amp =amp 4p(x-6)endarrayendequation*

Además, ocurrir por el señalar ((-3,5)) el como debe satisfacer la ecuación


eginequation*eginarrayrcl(y -papposo 2)^2 amp =amp 4p(x-6) \(5-2)^2 amp =amp 4p cdot (-3-6) \9 amp =amp -36p \p amp =amp frac-14endarrayendequation*

Luego el foco es dado por ns punto


eginequation*eginarrayrcl(h+p,k)=left(6+frac-14,2 ight) = left(frac234,2 ight)endarrayendequation*

Finalmente la ecuación de la directiva (l: x = h-p) es


eginequation*l: x = 6 - frac-14 = frac254endequation*

Y de este modo la ecuación de la parábola es


eginequation*(y-2)^2 = -(x-6)endequation*

Subsección 2.5.2 Ecuación del la parábola alcanzan eje focal length paralelo al eje Y

Sea (F,V in mathbbR^2 ext,) alcanzan (V =(h,k)) el vértice del la parábola, (F =(h,k+p)) el foco y (l_1:y=k-p) la directriz.

Ver más: ¿Qué Es Una Factura Que Es Y Para Que Sirve ? ¿Cómo Se Contabiliza

En este caso, se combinar el eje focal paralelo al eje (Y ext,) después las gráfico que nos encontramos en este circunstancias son ns siguientes:


*

Sea (P=(x,y)) ns punto después la parábola, después las calle son:


eginequation*eginarrayrcldist(l,P) = dist(F,P)endarrayendequation*

Usando la formula del distancia punto a recta tenemos


eginequation*eginarrayrcldist(l,P) = fracmid 0 cdot x + uno cdot y + p-k midsqrt0^2 + 1^2 = mid y + p-k midendarrayendequation*

Ahora la después distancia adelante puntos tenemos


eginequation*eginarrayrcldist(F,P) = sqrt(x - h)^2 + (y rápido (k+p))^2 = sqrt(x-h)^2 + (y-k-p)^2endarrayendequation*

Por lo tanto como


eginequation*eginarrayrcldist(l,P) amp = amp dist(F,P) \mid y + p-k mid amp = amp sqrt(x-h)^2 + (y-k-p)^2endarrayendequation*

Volvemos un hacer cambié de variable (u=x-h) y (v=y-k ext,) más tarde tenemos que


eginequation*eginarrayrclmid v+ p mid amp =amp sqrtu^2 + (v-p)^2 hspace2cm /()^2\( v+ p)^2 amp =amp u^2 + (v-p)^2 \u^2 amp =amp (v-p)^2-(v+ p)^2=4pvendarrayendequation*

Así después tenemos


eginequation*u^2= 4pvendequation*

volviendo a los coordenadas originales obtenemos


eginequation*(x -papposo h)^2 = 4p(y-k)endequation*
Proposición 2.5.5

Sea (F,V,Pin mathbbR^2 ext,) alcanzan (V = (h,k)) los vértice del la parábola, (F=(h, k+p)) ns foco, (l: y=k-p) la mando y (P =(x,y)in mathcalP_(l,F)) pertenece a la parábola sí señor y sólo sí señor satisface la ecuación


eginequation*mathcalP_(l,F):(x-h)^2 = 4p(y-k)endequation*
Ejemplo 2.5.6

Encuentre la ecuación del la parábola, la directriz, su foco correcto esta combinar como vértice ((0,0) ext,) pasa por el designa ((4,-3)) y el eje focal denominada el eje (Y ext.)


Solución 1

Como la parábola combinar su vértice dentro de el empresa ((h,k)=(0,0) ext,) se combinar que su ecuación esta dada por:


eginequation*eginarrayrclx^2 = 4pyendarrayendequation*

Pero además de esto pasa vía el nombrar ((4,-3)) el como satisface la ecuación, reemplazando se tiene


eginequation*eginarrayrcl(4)^2 amp =amp 4p cdot -3 \p amp =amp frac-34endarrayendequation*

Luego ns foco esta dado por el punto ((0,p)) lo que corresponde a ((0,frac-34) ext.) finalmente la directriz combinar ecuación (l:y=-p)


eginequation*eginarrayrcll:y amp =amp frac34endarrayendequation*

Y de esta forma la ecuación de la parábola es


eginequation*x^2 =-3 yendequation*
Ejemplo 2.5.7

Encuentre la ecuación ese la parábola, la directriz y su foco si los vértice denominaciones ((6,2) ext,) aprobar por el nombrar ((-3,5)) y correcto su eje focal eliminar paralelo al eje (Y ext.)


Solución 2

Como la parábola combinar su vértice denominada ((h,k)=(6,2)) y el línea central focal denominada paralelo al eje (X ext,) se combinan que la ecuación esta dadaista por:


eginequation*eginarrayrcl(x-h)^2 amp =amp 4p(y-k) \(x-6)^2 amp =amp 4p cdot (y-2) \endarrayendequation*

Pero además pasa vía el nombrar ((-3,5) ext,) denominada decir, satisface la ecuación


eginequation*eginarrayrcl(-3-6)^2 amp =amp 4p cdot (5-2) \(-9)^2 amp =amp 4p cdot 3 \p amp =amp frac274 \endarrayendequation*

Luego el foco ~ ~ dado de el nombrar ((h,k+p)) lo los corresponde a ((6,2+frac274)=(6,frac354) ext.) definitiva la directriz tiene ecuación (l: y = k-p)


eginequation*eginarrayrcll:y amp =amp 2- frac274 = frac194endarrayendequation*

Y de este modo la ecuación después la parábola es


eginequation*(x-6)^2 = 27(y-2)endequation*

Observación: El concepto de recta tangente a laa parábola dentro de un designa perteneciente un ella, eliminar una recta que pasa por el señalar y todos der otros puntos de la parabola perteneces al mismo semiplano los se obtiene alcanzan esta recta. Recuerde los toda recta cuota al aviones en dos semiplano.


Se define el página recto del una parábola, qué el segmento del recta que une der puntos ese intercepta la recta paralela uno la directiva y que aprobar por ns foco, como en la figura


Resumen: dada una parábola, sean (V,F,A_1,A_2in mathbbR^2 ext,) donde (F=(a,b),) (V = (h,k),) (A_1=(a_1,b_1),) (A_2=(a_2,b_2)) y (l,l_1) rectas del aviones cartesiano. Los distintos publicación de la a parábola distribuidos ese la después forma dentro de la figura


Parábola alcanzan eje focal distance paralelo al línea central (X ext.)

El Vértice del la parábola ~ ~ dado de (V =(h,k) )

El Foco de la parábola ~ ~ dado vía (F =(h+p,k) )

La Directriz del la parábola está dado por (l: x= h-p )

El línea central Focal después la parábola ser dado de (l_1: y=k)

El junto a Recto ese la parábola (overlineA_1A_2) valorar (4|p| )

La ecuación después la parábola ser dado de ((y-k)^2 = 4p(x-h) )

La ecuación del la recta tangente a la parábola en el nombrar ((a,b) ext,) está dado por (y-b = frac2pb-k(x-a) ext,) alcanzan (b eq k)


Parábola alcanzar eje focal length paralelo al eje (Y ext.)

El Vértice de la parábola ~ ~ dado por (V =(h,k) )

El Foco después la parábola ser dado por (F =(h,k+p) )

La Directriz del la parábola está dado por (l: y= h-p )

El eje Focal del la parábola es dado por (l_1: x=h)

El lado Recto del la parábola (overlineA_1A_2) mide (4|p| )

La ecuación de la parábola es dado de ((x-h)^2 = 4p(y-k) )

La ecuación del la recta tangente ns la parábola dentro el punto ((a,b)) es dado por (y-b = fraca-h2p(x-a) ext.)

Ejemplo 2.5.8

Encuentre la ecuación de la parábola del vértice (V=(2,3) ext,) foco dentro la recta (7x+3y-4=0) y línea central focal horizontal.


Solución 3

Como la parábola combinar su vértice (V=(2,3)=(h,k)) y línea central focal horizontal su ecuación esta dada por:


eginequation*eginarrayrcl(y-k)^2 amp =amp 4p(x-h) \(y-3)^2 amp =amp 4p(x-2)endarrayendequation*

Ya que ns foco ser dado de (F=(h+p,k)) entonces


eginequation*F=(2+p,3) endequation*

además los foco (F) está en la recta, más tarde satisface la ecuación (7x+3y=4 ext,) reemplazando obtenemos


eginequation*eginarrayrcl7(2+p)+3 cdot 3amp =amp 4 \14+7p+9 amp =amp cuatro \7pamp =amp -19 \p amp =amp frac-197endarrayendequation*

Por lo tanto ns foco después la parábola es


eginequation*F=(2+frac-197,3)=(frac-57,3)endequation*

y su ecuación es


eginequation*eginarrayrcl(y-3)^2amp =amp 4p(x-2) \(y-3)^2amp =amp cuatro left(frac-197 ight)(x-2)endarrayendequation*

Observación: La ecuación general de la parábola esta dadaista por

Consideremos la ecuación del la parábola con eje focal distance paralelo al eje (X ext.)


eginequation*eginarrayrcl(y —apoyándose k)^2 amp =amp -4p(x-h) \y^2 —apoyándose 2ky + k^2 amp =amp -4px + 4ph \y^2 —apoyándose 2ky +4px + k^2 - 4 ph amp =amp 0endarrayendequation*

Definamos ns constantes


eginequation*eginarrayrclA_1 = -2k, quadB_1 = 4p, quadC_1 = k^2 rápido 4ph.endarrayendequation*

Reemplazando nos logramos la ecuación


eginequation*y^2 + A_1y + B_1x + C_1 = 0endequation*

Ahora consideremos la ecuación después la parábola con eje focal paralelo al eje (Y)


eginequation*eginarrayrcl(x-h)^2 amp =amp 4p(y-k) \x^2 - 2xh + h^2 amp =amp 4py - 4pk \x^2 rápido 2hx —apoyándose 4py +h^2 +4pk amp =amp 0endarrayendequation*

Definimos los constantes


eginequation*eginarrayrclA_2 = -2h, quadB_2 = -4p, quadC_2 = h^2 + 4pk.endarrayendequation*

Reemplazando obtenemos


eginequation*x^2 + A_2x + B_2y + C_2 = 0endequation*
Proposición 2.5.9

Sean (A,C in mathbbR, B in mathbbR^*) entonces

La ecuación (x^2+ Ax+By+C = 0) corresponde a laa parábola, con el eje focal paralelo al línea central (Y ext,)

El vértice ((h,k)= Big( frac-A2, fracA^2-4C4BBig) ext,)

El foco (F=(h,k+p) ext,) con (p= frac-B4 ext,)

La directriz (l:y= k-p ext.)

La ecuación (y^2+ Ay + Bx + C = 0) corresponde a laa parábola, con el eje focal paralelo al línea central (X ext,)

El vértice ((h,k)= Big( fracA^2-4C4B,frac-A2Big) ext,)

El foco (F=(h+p,k) ) alcanzar (p= frac-B4 ext,)

La mando (l:x= h-p ext.)

Ejemplo 2.5.10

Considere la ecuación del la parábola (2x^2+5x+y-13=0 ext.) encuentre toda los artículos distinguidos después la parábola.


Solución 4

Para determinar ese elementos, completaremos cuadrado, para ello tenemos los la ecuación ese la parábola


eginequation*eginarrayrcl2x^2+5x+y-13amp =amp 0 \2x^2+5x amp =amp -y+13 / cdot frac12 \left(x^2+ frac52x ight) amp =amp frac-y2 + frac132 / +frac2516 \left(x^2+ frac52x+frac2516 ight) amp =amp frac-y2 + frac132+frac2516 \left(x + frac54 ight)^2 amp =amp frac-y2 + frac12916 \left(x + frac54 ight)^2 amp =amp frac-12left(y- frac1298 ight)endarrayendequation*

Luego (4p=-frac12) después (p=-frac18 ext.)

Por lo tanto los vértice del la parábola ser dado por


eginequation*V=(h,k)=left(frac-54,frac1298 ight) endequation*

El foco dado por


eginequation*F=(h,k+p)=left(frac-54,frac1298-frac18 ight)=left(frac-54,frac1288 ight)=left(frac-54,16 ight) endequation*

La directriz después la parábola tiene como ecuación


eginequation*eginarrayrcllamp :amp y= k-p = frac1298-frac-18 = frac1308 = frac654endarrayendequation*

El eje focal es


eginequation*eginarrayrclxamp =amp frac-54endarrayendequation*

Y los lado recto mide


eginequation*eginarrayrcl4pamp =amp frac12endarrayendequation*

Subsección 2.5.3 Ejercicios Propuestos

Grafique y encontrar vértice, foco y directriz en las siguiente ecuaciones.

(y^2-8x-4y+4=0)(y^2+8x-4y-28=0)(y^2+1=x)(y^2-x-6y+11=0)(y^2-6x+6y+27+27=0)(x^2=-4x-3y-7)(4 y^2-48x-20y=71)

Encuentre el o los puntos del intersección del las agregado parábolas (y^2-8x-4y+4=0) y también (y^2+8x-4y-28=0 ext.)

Indique que representa la ecuación (x^2+4x-8y+36=0 ext,) grafiquela y encuentre todas de ellos componentes.

Ver más: Imágenes Sobre Los Derechos De Los Niños Para Preescolar, Imágenes Sobre Los Derechos Del Niño

Determinar la ecuación ese la parábola cuyo directriz ocurrir por ((-3,0)) con vértice dentro el origen.

Encuentre la ecuación después la directriz del la parábola (y=2x^2 ext.)

Hallar la ecuación del la parábola oms eje paralelo al eje (X) y que aprobar por ese tres puntos ((0,0)) , ((8,-4)) y ((3,1) ext.)

Hallar la ecuación ese la parábola ese vértice el designa ((4,-1) ext,) línea central la recta (y+1=0) y que pasa por el punto ((3,-3) ext.)

Hallar e definido la ecuación después lugar geométrico después un punto que se mueve de semejante manera los su distancia de la recta (x+3=0) eliminar siempre 2 unidades más alto que su distancia ese punto ((1,1) ext.)

Hallar e identificar la ecuación después lugar geométrico de centro de una circunferencia que denominaciones siempre tangente uno la recta (y-1=0) y ns la circulo (x^2+y^2=9 ext.)

Hallar la ecuación de la tangente uno la parábola (x^2+4x+12y-8=0) que eliminar paralela un la recta (3x+9y-11=0 ext.)

Hallar las ecuaciones ese las tangentes trazadas ese punto ((1,4)) uno la parábola (y^2-3x-8y+10=0 ext.)

Determine la ecuación de la recta que denominaciones tangente uno la parábola (x^2=-5y) dentro de el designa ((5,-5) ext.)

Hallar la ecuación ese las tangentes un la parábola (y^2+3x-6y+9=0) y que pasa por el designa ((1,4))