COMO SACAR LOS LADOS DE UN TRIANGULO

· influencia el Teorema del Pitágoras a ~ encontrar los lado desconocido después un triangles rectángulo.

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· asentarse problemas ese aplicación con el Teorema del Pitágoras.


Hace mucho tiempo, un matemático Griego se llama Pitágoras descubrió una bienes raíces interesante ese los triángulos rectángulos: la suma después los cuadrados del las longitudes del los catetos eliminar igual al cuadrado ese la longitud ese la hipotenusa de triángulo. A esta propiedad — que tiene muchas solicitud en la ciencia, ns arte, la ingeniería y la edificio — se le conoce qué La fórmula que relaciona las longitudes después los lados ese un triángulo rectángulo:

*
, dónde c denominada la hipotenusa, y a y b son los catetos.


")">Teorema del Pitágoras
.

Echemos uno vistazo a cómo este teorema puede ayudarnos a conocer más encima la erección de los triángulos. Y la formación de hielo parte — ni siquiera necesitas hablar Griego para solicitar el descubrimiento ese Pitágoras.


El teorema ese Pitágoras


Pitágoras estudió los triángulos rectángulos, y los relaciones entre los catetos y la hipotenusa del un triangles rectángulo, antes de derivar su teoría.

*

El teorema del Pitágoras

Si ns y b estaban las longitudes del los catetos del un triángulo rectángulo y c eliminar la longitud del la hipotenusa, entonces la suma ese los cuadrados del las longitudes del los catetos denominaciones igual al cuadrado ese la longitud de la hipotenusa.

Esta situación se representa con la fórmula:

En ns recuadro anterior, habrás sentido la palabra “cuadrado,” así como ese 2s ~ arriba de las letras dentro Elevar al cuadrado un meula significa multiplicarlo por tengo mismo. Entonces, por ejemplo, elevan al cuadrado el número 5, multiplicas 5 • 5, y para elevan al cuadrado ns número 12, multiplicas 12 • 12. Algo más números propagar elevados al square enix se muestran dentro de la posteriores tabla.


Número

Número multiplicado por tengo mismo

Cuadrado

1

12 = uno • 1

1

2

22 = 2 • 2

4

3

32 = tres • 3

9

4

42 = 4 • 4

16

5

52 = cinco • 5

25

10

102 = diez • 10

100


 

Cuando ves la ecuación , puedes pensar en esto como “la longitud después lado un multiplicada por consiguió misma, mas la longitud ese lado b multiplicada por tengo misma denominada igual uno la longitud después c multiplicada por sí misma.”

Intentemos el Teorema después Pitágoras alcanzan un triángulo.

*

El teorema denominada válido para este triángulo rectángulo — la suma del los cuadrados del los catetos eliminar igual al cuadrado de la hipotenusa. Y, después hecho, eliminar válido hacía todos los triángulos rectángulos.

El Teorema después Pitágoras puede ~ representarse dentro términos ese área. Dentro de un triángulo rectángulo, el área del cuadrado del la hipotenusa eliminar igual uno la suma ese las zona de der cuadrados después los catetos. Puedes ver la vergüenza siguiente para el mismo triangulos rectángulo 3-4-5.

*

Observa que los Teorema del Pitágoras sólo funciona para triángulos rectángulos.


Encontrando la longitud de la hipotenusa


Puedes usar el Teorema ese Pitágoras para encontrar la longitud después la hipotenusa del un triangles rectángulo si conoces la longitud ese los otros doble lados del triángulo, llamada telefónica catetos. Puesto del otra manera, sí conoces los longitudes del a y b, puedes lo encontré c.

*

En los triángulo anterior, tenemos las medidas después los catetos a y b: 5 y 12, respectivamente. Puedes apalancamiento el Teorema ese Pitágoras a ~ encontrar ns valor del la longitud de c, la hipotenusa.


El Teorema de Pitágoras.

*

Sustituir los valores bien conocido para a y b.

*

Evaluar.

Simplificar. Hacia encontrar ns valor del c, piensa para un meula que, cuándo se multiplica por sí mismo, eliminar igual uno 169. ¿Funciona el 10? ¿O el 11? ¿12? ¿13? (Puedes apalancamiento una computadoras para multiplicar ese números que alguna son familiares)

13 = c

La raíz cuadrada de 169 es 13


Usando la fórmula, puedes encontraba que la longitud de c, la hipotenusa, eliminar 13.

En esta caso, no conocías los valor de c — tenías el cuadrado ese la longitud después la hipotenusa, y la tuviste los encontrar ese ahí. Si se té da la a ecuación qué  y se te pide los valor del c, a esta se le contar encontrar la raíz cuadrada de un número. (Nota los encontraste un número, c, cuyo raíz cuadrada fue 169.)

Encontrar la raíz cuadrada requiere algo más de práctica, aun también aceptar ventaja después la multiplicación, la división, y uno poco ese prueba y error. Observa la tabla siguiente.


Número x

Número y ns cual, si se multiplica por tengo mismo, denominada igual al número x

Raíz cuadrada y

1

1 • 1

1

4

2 • 2

2

9

3 • 3

3

16

4 • 4

4

25

5 • 5

5

100

10 • 10

10


Es bien hábito familiarizarse con los cuadrados ese los números de 0 al 10, causado son frecuentes en matemáticas. Sí señor puedes conmemoración estos números — o correcto puedes apalancamiento una computadoras para encontrarlos — calcular las raíces cuadrado será pregunta de recordar.

¿Para cuales de estas triángulos es

*
?

A)

B)

C)

D)


Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

 

Incorrecto. Este no es un triangles rectángulo, vía lo que cuales puedes usar el Teorema del Pitágoras para lo encontré r. La respuesta adecuada es el Triángulo B.

B)

 

Correcto. Este denominaciones un triangles rectángulo; cuándo sumas ese cuadrados de sus catetos, obtienes los cuadrado ese su hipotenusa.

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C)

 

Incorrecto. Este no es un triangles rectángulo, por lo que alguno puedes apalancamiento el Teorema después Pitágoras para encontraba r. La respuesta adecuada es ns Triángulo B.

D)

 

Incorrecto. Este cuales es un triangles rectángulo, de lo que cuales puedes apalancamiento el Teorema del Pitágoras para encontré r. La respuesta adecuada es el Triángulo B.

Encontrando la longitud de un cateto


Puedes aprovechar la uno fórmula para encontrar la longitud después cateto ese un triángulo correcto te proporcionan los medidas ese la hipotenusa y después otro cateto. Considera el posteriores ejemplo.


Ejemplo

Problema

Encuentra la longitud ese lado a después triángulo siguiente. Estados unidos una computadora para estimación la raíz cuadrada hacía una posición decimal.

*

a = ?

b = 6

c = 7

En este triángulo rectángulo, te proporcionan ns medidas del la hipotenusa, c, y del un cateto, b. La hipotenusa ~ ~ siempre opuesto al esquina recto y siempre eliminar el lado además largo después triángulo

*

Para encontraba la longitud del cateto a, sustituye der valores muy famoso en los Teorema ese Pitágoras.

*

Resuelve a2. Piensa: ¿Qué número, si se le total 36, resulta dentro 49?

*

Usa una computadoras para lo encontré la raíz cuadrada después 13. La calculadora te da la respuesta 3.6055…, que se pueden redondear ns 3.6 (Como estás aproximando, utilizas el símbolo

*
.)

Respuesta

*


¿Cuál ese las siguientes operaciones utiliza correctamente el Teorema ese Pitágoras hacía encontrar el lado faltante, x?

*

A)

B) x + 8 = 10

C)

D)


Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Incorrecto. Dentro este triángulo, sabes los la hipotenusa (el lado contender al ángulo recto) combinar una longitud después 10. Las longitudes del los catetos son 8 y x. La respuesta correcta es .

B) x + ocho = 10

Incorrecto. El Teorema después Pitágoras denominaciones una relación todos las longitudes ese los catetos al cuadrado después un lado. La respuesta adecuada es .

C)

Correcto. Dentro este triángulo, la hipotenusa combinación una longitud del 10, y los catetos una longitud de ocho y x. Sustituyendo en el Teorema ese Pitágoras tenemos: ; esta ecuación denominada la uno que

*
, o
*
. ¿Qué número, multiplicado por sí mismo, es igual uno 36? él sería x = 6.

D)

Incorrecto. Dentro este triángulo, la longitud del la hipotenusa es igual a diez (siempre el lado más largo y contender al ángulo rectángulo) no 8. La respuesta adecuada es .

Usando ns teorema para asentamiento problemas ese mundo real


El Teorema de Pitágoras es tal vez una después las fórmulas además usadas que verás dentro matemáticas porque hay muchas solicitud en el mundo real. Los arquitecto e ingenieros usan ~ ~ fórmula extensivamente cuando construir edificios, puentes, y rampas. Observa ese siguientes ejemplos.


Ejemplo

Problema

Los dueños después una patria quieren convertida los escalones ese la entrada en la a rampa. Los porche mide tres pies por sobre del suelo, y debido a regulaciones ese construcción, la rampa debe arranca a una distancia de doce pies después la basen del porche. ¿Qué asi que larga eso la rampa?

Usa una computadora para encontré la raíz cuadrada, y redondea tu contestado a la décima hasta luego cercana.

Para resolver un problema como este, es bien idea dibujar un serias simple ese muestre los catetos y la hipotenusa de triángulo.

*

a = 3

b = 12

c = ?

Identifica der catetos y la hipotenusa ese triángulo. Sabes que ns triángulo eliminar rectángulo causado el pisos y la porción de porche son perpendiculares — esto significa que puedes aprovechar el Teorema de Pitágoras para res o ver ns problema. Identificar a, b, y c.

*

Usa el Teorema después Pitágoras para encontraba la longitud del c.

12.4 = c

Usa una calculadora para encontrar c. La raíz cuadrada de 153 es 12.369…, por lo que puedes redondear él​ a 12.4.

Respuesta

La rampa medirá 12.4 pies.


Ejemplo

Problema

Un barco tiene laa vela alcanzar forma del triángulo rectángulo. El lado hasta luego largo de la vela mide diecisiete yardas, y los lado de debajo de la vela mide ocho yardas. ¿Qué tan elevado es la vela?

*

Dibuja la imagen para asistirte a visualizar los problema. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa para siempre será ns lado además largo, después debe oveja de 17 yardas. El cuestiones también te dice que los lado inferior después triángulo mide ocho yardas.

*

Aplica los Teorema de Pitágoras.

a = 15

15 • 15 = 225, después a = 15.

Respuesta

La alturas de la vela es 15 yardas.

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Sumario


El Teorema de Pitágoras dice que en alguna triángulo rectángulo, la suma del los cuadrados de los catetos denominada igual al cuadrado del la hipotenusa. Ns teorema se representa con la fórmula . Denominada decir, sí señor conoces la longitud del dos de los lados ese un triangles rectángulo, puedes usar el Teorema del Pitágoras para encontraba la longitud del tercer lado. Recuerda, esta teorema sólo efecto para triángulos rectángulos.